SUDUT ANTARA DUA GARIS

Setelah kita selesai mempelajari materi tentang hubungan dan jarak antara titik, garis dan bidang, sekarang kita akan mulai mempelajari besar sudut.

Sudut yang akan kita pelajari nanti adalah sudut antara dua garis, sudut antara garis dan bidang, serta sudut antara dua bidang.
Kalian masih ingat, bahwa hanya dua garis berpotongan atau dua garis bersilangan saja yang mempunyai sudut ? Sekarang kita akan mempelajari materi sudut antara dua garis baik yang berpotongan maupun yang bersilangan.
SUDUT ANTARA DUA GARIS
Sudut antara garis g dan h yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut.

Untuk dua garis bersilangan besar sudutnya tidak dapat langsung kita tentukan. Cara menghitung besar sudut antara dua garis yang bersilangan dengan cara menggeser salah garis (atau keduanya), sehingga kedua garis berpotongan.
Selanjutnya untuk menghitung besar sudut sama dengan cara menghitung besar sudut antara dua garis yang berpotongan.

Misal garis g dan h bersilangan (artinya garis g dan h tidak berpotongan), untuk menghitung besar sudutnya kita geser garis g sehingga memotong garis h, maka sudut ϴ adalah sudut yang dibentuk oleh g’ dan h .
Untuk lebih jelasnya kita perhatikan contoh berikut.

Contoh
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm.
Hitung besar sudut antara : a). AH dan HC
b). AF dan BG
c). EB dan HP
(titik P adalah perpotongan garis diagonal AC dan BD)

Jawab :
a). sudut antara AH dan HC

Perhatikan ΔACH
Karena AH = AC = CH = diagonal sisi kubus, maka ΔACH adalah segitiga sama sisi, sehingga ∠AHC = ϴ = 60^o
b). sudut antara AF dan BG

Garis AF dan BG bersilangan, sehingga untuk menentukan sudutnya salah satu garis harus kita geser.
Misal AF kita geser ke DG, sehingga berpotongan dengan BG di titik G.
Jadi sudut antara AF dan BG adalah ∠DGB
Karena ΔDGB adalah segitiga sama sisi, maka ∠DGB = ϴ = 60^o
c). Sudut antara EB dan HP (titik P adalah perpotongan garis diagonal AC dan BD).

Karena EB dan HP bersilangan, maka EB kita geser ke HC sehingga berpotongan dengan HP di titik H.
Jadi sudut antara EB dan HP adalah ∠PHC
Karena ΔAHC adalah segitiga sama sisi, maka ∠AHC = 60^o
∠AHP = ∠PHC = ½ ∠AHC
ϴ = ∠PHC = ½ . 60^o
ϴ = 30^o

Perkalian Matriks

 1. Rumus Perkalian matriks

Misalkan matriks A (a, b, c, d) berukuran 2X2 dikalikan dengan matriks B (e, f, g, h) berukuran 2X2, sehingga rumusnya akan menjadi:

Syarat dua matriks dapat dioperasikan perkalian yaitu banyak kolom matriks pertama harus sama dengan banyak baris matriks kedua, sebagai berikut:

2. Sifat-Sifat Pada Perkalian Matriks

Diberikan A,B,C adalah sembarang matriks yang elemennya bilangan riil, maka:

• Sifat perkalian dengan matriks nol

• Sifat perkalian asosiatif

• Sifat distributif kiri

• Sifat distributif kanan

• Sifat perkalian dengan konstanta c

• Sifat perkalian dengan matriks identitas

3. Contoh Soal Perkalian Matriks

1. Hitunglah

Penyelesaian:

2. Berapakah nilai x+y yang memenuhi

Penyelesaian:

Sesuaikan persamaan terhadap posisi elemen, didapat

Jadi ,

3. Berapakah hasil dari

Jawab:

Jarak Garis ke Bidang pada Bangun Ruang

Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar di atas merupakan sebuah bidang α dengan garis k. Kemudian garis k dan bidang α tersebut dihubungkan sebuah garis AB yang tegak lurus dengan garis dan bidang tersebut. Jarak garis AB tersebut merupakan jarak garis k dengan bidang α. Jarak garis ke bidang adalah panjang garis proyeksi garis pada bidang. Untuk memantapkan pemahaman anda tentang jarak garis ke bidang.

Contoh Soal

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

 

Diketahui panjang rusuk kubus di atas 8 cm dan titik P , titik Q, titik R, serta titik S berada di tengah-tengah rusuk kubus tersebut. Hitunglah jarak garis PQ ke bidang DRS!

Penyelesaian:
Sekarang kita perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan bidang DRS dan garis PQ! Garis YZ merupakan jarak antara bidang DRS dengan garis PQ di mana DX tegak lurus dengan garis YZ.  maka HX = BY = 2√2 cm, DY = 6√2 cm dan XY = 4√6 cm

Sekarang kita cari panjang DX dengan teorema Phytagoras, yaitu:

DX = √(DH² + HX²)

DX = √(8² + (2√2)²)

DX = √(64 + 8)

DX = √72

DX = 6√2 cm

Maka gambarnya menjadi:

Sekarang kita cari panjang DO dengan menggunakan teorema phytagoras, yaitu:

DO = √(DY² – OY²)

DO = √((6√2)² – (2√6)²)

DO = √(72 – 24)

DO = √48

DO = 4√3 cm

Dengan menggunakan konsep luas segitiga maka:

(DX . YZ)/2 = (XY . DO)/2
 (DX . YZ)= (XY . DO)

6√2 . YZ = 4√6 . 4√3

6√2 . YZ = 16√18

6√2 . YZ = 16 . 3√2

YZ = 16/2

YZ= 8 cm

Jadi jarak garis PQ ke bidang DRS adalah 8 cm.

CONTOH SOAL
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Tentukan panjang proyeksi DE pada BDHF 

Penyelesaian:

Jarak Garis ke Garis pada bangun ruang

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas terdapat dua buah garis yaitu garis f dan garis g. Dari kedua garis itu ditarik sebuah garis yang tegak lurus dengan garis f dan garis g, sehingga terbentuk garis AP. Panjang garis AP ini merupakan jarak garis fdengan garis g.

Jadi jarak garis ke garis merupakan jarak terpendek antara dua garis itu, atau panjang garis yang memotong tegak lurus kedua garis itu. Syarat agar bisa menghitung jarak dari garis ke garis adalah kedua garis tersebut harus sejajar atau bersilangan. Nah untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai jarak garis ke garis sekarang perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh.

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

Diketahui panjang rusuk kubus di atas 8 cm dan titik P , titik Q, titik R, serta titik S berada di tengah-tengah rusuk kubus tersebut. 

(a) Hitunglah jarak garis PQ ke garis EG dan 

(b) hitunglah jarak garis PQ ke garis RS!

Penyelesaian:

(a) Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan garis PQ dan garis EG! Garis tersebut dihubungkan sebuah garis XY yang merupakan jarak garis PQ dengan garis EG. Untuk mencari garis tersebut Anda harus paham dengan konsep teorema Phytagoras. Sekarang cari panjang PQ dimana PB = ½ AB =  4 cm, maka:

Jarak PQ = 4√2 cm

Sekarang cari panjang BY dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di Y di mana QY = ½ PQ = 2√2 cm, maka:

Jadi BY = 2√2 cm

Sekarang cari panjang FX yang merupakan setengah panjang EG, maka:

FX = ½ EG = 4√2 cm

Jika digambarkan akan menjadi seperti gambar berikut ini.

Sekarang cari panjang UX:

UX = FX – BY

UX = 4√2 cm – 2√2 cm

UX = 2√2 cm

Terakhir hitung panjang XY:

Jadi panjang garis PQ dengan garis EG adalah 6√2 cm.

(b) Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan garis PQ dan garis RS! Garis tersebut dihubungkan sebuah garis WY yang merupakan jarak garis PQ dengan garis EG. Untuk mencari garis WY tersebut Anda harus paham dengan konsep teorema Phytagoras. Kita ketahui panjang BY = 2√2 cm, EG = FH = 8√2 cm dan panjang BY = HW, maka gambarnya akan menjadi:

Sekarang cari panjang UW dengan menggunakan gambar di atas, yakni:
UW = FH – BY – HW

UW = 8√2 – 2√2  – 2√2

UW = 4√2 cm

Terakhir hitung panjang WY:

Jadi panjang garis PQ dengan garis RS adalah 4√6 cm.

Penyelesaian SPLTV dengan determinan

Nah, pada kesempatan kali ini, kita akan membahas tentang cara menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode determinan. Namun sebelum itu, tahukah kalian apa itu metode determinan? Jika belum tahu, silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini. Selamat belajar.

Metode determinan sering juga disebut dengan metode cramer. Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Determinan dapat pula digunakan untuk mencari penyelesaian SPLDV maupun tiga variabel (SPLTV).

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode determinan adalah sebagai berikut.

Langkah Pertama, ubahlah sistem persamaa linear tiga variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut.

Misalkan terdapat sistem persamaan berikut.

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut

A . X = B …………… Pers. (1)

Dengan:

A	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

X	=	x
		y
		z

B	=	d1
		d2
		d3

Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut.

a1	b1	c1		x	=	d1
a2	b2	c2		y		d2
a3	b3	c3		z		d3

Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (D_x), determinan y (D_y), dan determinan z (D_z) dengan persamaan berikut.

D	=	a1	b1	c1	a1	b1	=	(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
		a2	b2	c2	a2	b2
		a3	b3	c3	a3	b3

D adalah determinan dari matriks A.

Dx	=	d1	b1	c1	d1	b1	=	(d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3) – (d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1)
		d2	b2	c2	d2	b2
		d3	b3	c3	d3	b3

D_x adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dy	=	a1	d1	c1	a1	d1	=	(a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3) – (a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1)
		a2	d2	c2	a2	d2
		a3	d3	c3	a3	d3

D_y adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dz	=	a1	b1	d1	a1	b1	=	(a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3) – (a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1)
		a2	b2	d2	a2	b2
		a3	b3	d3	a3	b3

D_z adalah determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Contoh soal:

Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

2x + y + z = 12

x + 2y – z = 3

3x – y + z = 11

Jawab:

Mengubah SPLTV ke bentuk matriks

Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.

2	1	1		x	=	12
1	2	−1		y		3
3	−1	1		z		11

Kedua, kita tentukan nilai D, D_x, D_y dan D_z dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.

Menentukan nilai D

D	=	2	1	1	2	1
		1	2	−1	1	2
		3	−1	1	3	−1

D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]

D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]

D = 0 − 9

D = −9

Menentukan nilai D_X

DX	=	12	1	1	12	1
		3	2	−1	3	2
		11	−1	1	11	−1

D_X = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]

D_x = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]

D_x = 10 − 37

D_x = −27

Menentukan nilai D_y

Dy	=	2	12	1	2	12
		1	3	−1	1	3
		3	11	1	3	11

D_y = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]

D_y = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]

D_y = −19 – (–1)

D_y = −18

Menentukan nilai D_z

Dz	=	2	1	12	2	1
		1	2	3	1	2
		3	−1	11	3	−1

D_z = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]

D_z = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]

D_z = 41 − 77

D_z = −36

Menentukan nilai x, y, z

Setelah nilai D, D_x, D_y, dan D_z kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.

x

=

Dx

=

−27

=

3

D

−9

y

=

Dy

=

−18

=

2

D

−9

z	=	Dz	=	−36	=	4
		D		−9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {(3, 2, 4)}.