Penyelesaian SPLTV dengan determinan

Nah, pada kesempatan kali ini, kita akan membahas tentang cara menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode determinan. Namun sebelum itu, tahukah kalian apa itu metode determinan? Jika belum tahu, silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini. Selamat belajar.

Metode determinan sering juga disebut dengan metode cramer. Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Determinan dapat pula digunakan untuk mencari penyelesaian SPLDV maupun tiga variabel (SPLTV).

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode determinan adalah sebagai berikut.

Langkah Pertama, ubahlah sistem persamaa linear tiga variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut.

Misalkan terdapat sistem persamaan berikut.

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut

A . X = B …………… Pers. (1)

Dengan:

A	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

X	=	x
		y
		z

B	=	d1
		d2
		d3

Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut.

a1	b1	c1		x	=	d1
a2	b2	c2		y		d2
a3	b3	c3		z		d3

Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (D_x), determinan y (D_y), dan determinan z (D_z) dengan persamaan berikut.

D	=	a1	b1	c1	a1	b1	=	(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
		a2	b2	c2	a2	b2
		a3	b3	c3	a3	b3

D adalah determinan dari matriks A.

Dx	=	d1	b1	c1	d1	b1	=	(d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3) – (d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1)
		d2	b2	c2	d2	b2
		d3	b3	c3	d3	b3

D_x adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dy	=	a1	d1	c1	a1	d1	=	(a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3) – (a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1)
		a2	d2	c2	a2	d2
		a3	d3	c3	a3	d3

D_y adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dz	=	a1	b1	d1	a1	b1	=	(a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3) – (a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1)
		a2	b2	d2	a2	b2
		a3	b3	d3	a3	b3

D_z adalah determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Contoh soal:

Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

2x + y + z = 12

x + 2y – z = 3

3x – y + z = 11

Jawab:

Mengubah SPLTV ke bentuk matriks

Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.

2	1	1		x	=	12
1	2	−1		y		3
3	−1	1		z		11

Kedua, kita tentukan nilai D, D_x, D_y dan D_z dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.

Menentukan nilai D

D	=	2	1	1	2	1
		1	2	−1	1	2
		3	−1	1	3	−1

D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]

D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]

D = 0 − 9

D = −9

Menentukan nilai D_X

DX	=	12	1	1	12	1
		3	2	−1	3	2
		11	−1	1	11	−1

D_X = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]

D_x = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]

D_x = 10 − 37

D_x = −27

Menentukan nilai D_y

Dy	=	2	12	1	2	12
		1	3	−1	1	3
		3	11	1	3	11

D_y = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]

D_y = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]

D_y = −19 – (–1)

D_y = −18

Menentukan nilai D_z

Dz	=	2	1	12	2	1
		1	2	3	1	2
		3	−1	11	3	−1

D_z = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]

D_z = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]

D_z = 41 − 77

D_z = −36

Menentukan nilai x, y, z

Setelah nilai D, D_x, D_y, dan D_z kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.

x

=

Dx

=

−27

=

3

D

−9

y

=

Dy

=

−18

=

2

D

−9

z	=	Dz	=	−36	=	4
		D		−9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {(3, 2, 4)}.