Cara menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lain diketahui

Untuk memahami persoalan ini, kita harus sudah memahami cara menentukan fungsi invers dan cara menentukan komposisi f o g (x) atau g o f (x) jika fungsi f dan g diketahui. Bagaimana jika terjadi sebaliknya? Fungsi yang diketahui adalah fungsi komposisi f o g atau g o f dan salah satu fungsi yang membentuk komposisi fungsi tersebut, bagaimana cara menentukan fungsi lainnya?

Untuk menentukan suatu fungsi kalau fungsi komposisi diketahui, maka solusi yang bisa dilakukan

1. Kita harus bergerak dari fungsi komposisi itu sendiri. Hal pertama yang harus kita lakukan ialah  menguraikan fungsi komposisi sesuai dengan rumusnya kemudian mengganti nilai x dengan salah satu fungsi yang diketahui sehingga diperoleh suatu persamaan yang selanjutnya kita gunakan untuk menentukan persamaan fungsi yang ditanya. 

      2. Dengan menggunakan konsep fungsi invers.

a.       Jika f(x) dan fog(x) maka g(x)=f^-1ofog (x)

b.      Jika f(x) dan gof(x) maka g(x)=gofof^-1 (x)

c.       Jika g(x) dan fog(x) maka f(x)=fogog^-1 (x)

d.      Jika g(x) dan gof(x) maka f(x)=g^-1ogof (x)

      ( f^-1of = fof^-1 = gog^-1 = g^-1og = 1 )

Ingat rumus ini tidak perlu dihafal, tetapi dipahami cara menyusun rumusnya, yaitu dengan cara missal  Jika f(x) dan fog(x) maka g(x)=f^-1ofog (x)

Langkahnya sebagai berikut

Kita tulis dulu yang ditanyakan g(x)=…….

Kemudian kita tulis fungsi komposisi yang diketahui g(x)=…….fog…….

Nah karena dari fungsi komposisi fog yang harus tetap ada adalah g(x) maka fungsi f(x) harus hilang dengan dikomposisikan  f^-1(x) dari depan. Sehingga diperoleh

g(x)=f^-1ofog (x)

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa pola soal di bawah ini:

Perhatikan contoh berikut:

Contoh 1
Diketahui f(x) = x – 3 dan (f o g)(x) = 5x – 3. Tentukan fungsi g(x)

Penyelesaian: (cukup dengan cara 1)

(f o g)(x)	= 5x – 3
f(g(x))	= 5x – 3
g(x) – 3	= 5x – 3
g(x)	= 5x

Contoh 2
Diketahui f:R→R dan g:R→R ditentukan oleh f(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x² + 6x + 7, maka tentukan g(x) !

Penyelesaian: (cukup dengan cara 1)

(f o g)(x)	= x2 + 6x + 7
f(g(x))	= x2 + 6x + 7
g(x) + 3	= x2 + 6x + 7
g(x)	= x2 + 6x + 4

Contoh 3
Diketahui g(x) = 2x + 4 dan (f o g)(x) = 4x² + 20 x + 29. Tentukan fungsi f(x)

Penyelesaian: (dengan cara 1 yang memerlukan reka-reka)

(f o g)(x)	= 4x2 + 20 x + 29
f(g(x))	= 4x2 + 20 x + 29
f(2x+4)	= (4x2 + 16x + 29) + 4x + 8 + 5
f(2x+4)	= (2x + 4)2 + 2(2x + 4) + 5
f(x)	= x2 + 2x + 5

Dengan cara 2 poit b:
Dengan Menentukan Fungsi Invers dari g(x) = 2x + 4 , kemudian gunakan rumus yang sesuai

g(x)=2x+4 è g^-1(x)= (x-4)/2

Jika g(x) dan fog(x) maka f(x)=fogog^-1 (x)

f(x)= fog ((x-4)/2)

      = 4((x-4)/2)² + 20 ((x-4)/2) + 29

      = 4{( x² – 8x + 16)/4} + 10x – 40 + 29

      = x² – 8x + 16 + 10x – 40 + 29

      = x² + 2x + 5