Sudut Antara Garis dan Bidang serta antar bidang

Sudut terbentuk karena dua sinar garis bertemu pada suatu titik. Dalam bangun ruang, ada banyak titik yang dapat menjadi pertemuan dua sinar garis. Sudut pada bangun ruang terbagi menjadi tiga bagian yaitu (1) sudut antara dua garis (sudah kita pelajari sebelumnya), (2) sudut antara garis dan bidang, dan (3) sudut antara dua bidang.

Sudut Antara Garis dan Bidang


Garis Sejajar Bidang

Sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang jika garis itu sejajar atau terletak pada bidang maka sudut yang dibentuk adalah 0 derajat

Garis Tegaklurus Bidang


Garis a dikatakan tegaklurus bidang H, jika garis a tegaklurus pada semua garis pada bidang H yang melalui titik tembusnya.

Garis Tidak Tegaklurus Bidang



Sudut antara garis g dan bidang ∝ adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dengan proyeksi garis g tersebut pada bidang ∝.

Sudut Antara Dua Bidang (yang berpotongan)

Misalkan bidang V dan W berpotongan padagaris AB (bidang V = bidang ABCD,bidang W = bidang ABEF, sehingga (V, W) = AB ). Jika sebuah bidang K memotong tegaklurus garis potong antara bidang V dan W, maka bidang K dinamakan bidang tumpuan antara bidang V dan W. Karena bidang K ^ V dan K ^ W, maka bidang K dinamakan bidang tumpuan antara bidang V dan W. Karena bidang K ^ V dan K ^ W, maka bidang K ⊥(V, W), sehingga:diperoleh bahwa (V, W) ⊥(K, V) dan (V, W) ⊥(K, W).
Sudut antara garis (K, V) dan (K, W) dinamakan sudut tumpuan antara bidang V dan W. Besar sudut antara bidang V dan W ditentukan oleh besar sudut tumpuan antara kedua bidang.


Perhatikan Gambar


Sudut yang dibentuk oleh dua bidang jika bidang-bidang tersebut saling sejajar atau berhimpit, maka besar sudut yang terbentuk adalah 0^o


Sudut antara dua bidang yang berpotongan di garis g merupakan sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama, misalnya garis m, dan sebuah garis pada bidang kedua, misalnya garis n) garis-garis m dan n saling tegak lurus terhadap garis g.

Contoh

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm.

Hitung :
a). nilai sinus sudut antara rusuk BF dan bidang BEG
b). nilai cosinus sudut antara rusuk AE dan bidang DBG
Jawab :
a) Cara menentukan sudut antara rusuk BF dan bidang BEG :
Kita proyeksikan titik B pada bidang BEG yaitu di titik B, kemudian proyeksikan titik F pada bidang BEG dengan cara menarik titik F ke titik D sehingga memotong bidang BEG di titik F’ (yaitu proyeksi F pada bidang BEG).
Jadi proyeksi rusuk BF pada bidang BEG adalah BF’.
Sudut antara rusuk BF dan bidang BEG adalah α = ∠GBF’ atau α = ∠GBT

Dalam ΔTFB (segitiga siku-siku di F)

Kita ingat rumus luas segitiga :

b) Cara menentukan sudut antara rusuk AE dan bidang DBG :
Karena rusuk AE dan bidang DBG belum berpotongan, maka AE kita geser ke CG sehingga berpotongan dengan bidang DBG di titik G.
Kemudian kita proyeksikan titik G pada bidang DBG yaitu di titik G sendiri, dan proyeksikan titik C pada bidang DBG dengan cara menarik garis dari titik C ke arah E sehingga garis memotong bidang DBG di titik C’.
Sudut antara rusuk AE dan bidang DBG adalah α = ∠CGC’ atau α = ∠CGT .

• 
  

INVERS MATRIKS Ordo 2x2

 Invers matriks adalah sebuah kebalikan (invers) dari kedua matriks di mana apabila matriks tersebut dikalikan menghasilkan matriks persegi (AB = BA = I). Simbol dari invers matriks adalah pangkat -1 di atas hurufnya. Contoh matriks B adalah invers matriks A ditulis B = A^-1 dan matriks A adalah invers dari matriks B ditulis A = B^-1 Matriks A dan B merupakan dua matriks yang saling invers (berkebalikan). Invers matriks terdiri dari dua jenis yaitu matriks persegi (2×2) dan matriks (3×3).

Invers matriks A berordo 2x2 dapat langsung kita peroleh dengan cara:

1. Tukar elemen-elemen pada diagonal utamanya.
2. Berikan tanda negatif pada elemen-elemen lainnya.
3. Bagilah setiap elemen matriks dengan determinannya.

Rumusan dari invers matriks persegi berordo 2 adalah sebagai berikut:

Jika matriks   

dengan determinan A = a.d – b.c, maka invers matriks A dirumuskan sebagai berikut:

Dengan nilai determinan A tidak sama dengan 0

   

Contoh soal

 Contoh soal

   Tentukanlah invers dari matriks berikut.

     

    Penyelesaian:

   

 Contoh Soal

Tentukan invers matriks berikut

Penyelesaian

Cara menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lain diketahui

Untuk memahami persoalan ini, kita harus sudah memahami cara menentukan fungsi invers dan cara menentukan komposisi f o g (x) atau g o f (x) jika fungsi f dan g diketahui. Bagaimana jika terjadi sebaliknya? Fungsi yang diketahui adalah fungsi komposisi f o g atau g o f dan salah satu fungsi yang membentuk komposisi fungsi tersebut, bagaimana cara menentukan fungsi lainnya?

Untuk menentukan suatu fungsi kalau fungsi komposisi diketahui, maka solusi yang bisa dilakukan

1. Kita harus bergerak dari fungsi komposisi itu sendiri. Hal pertama yang harus kita lakukan ialah  menguraikan fungsi komposisi sesuai dengan rumusnya kemudian mengganti nilai x dengan salah satu fungsi yang diketahui sehingga diperoleh suatu persamaan yang selanjutnya kita gunakan untuk menentukan persamaan fungsi yang ditanya. 

      2. Dengan menggunakan konsep fungsi invers.

a.       Jika f(x) dan fog(x) maka g(x)=f^-1ofog (x)

b.      Jika f(x) dan gof(x) maka g(x)=gofof^-1 (x)

c.       Jika g(x) dan fog(x) maka f(x)=fogog^-1 (x)

d.      Jika g(x) dan gof(x) maka f(x)=g^-1ogof (x)

      ( f^-1of = fof^-1 = gog^-1 = g^-1og = 1 )

Ingat rumus ini tidak perlu dihafal, tetapi dipahami cara menyusun rumusnya, yaitu dengan cara missal  Jika f(x) dan fog(x) maka g(x)=f^-1ofog (x)

Langkahnya sebagai berikut

Kita tulis dulu yang ditanyakan g(x)=…….

Kemudian kita tulis fungsi komposisi yang diketahui g(x)=…….fog…….

Nah karena dari fungsi komposisi fog yang harus tetap ada adalah g(x) maka fungsi f(x) harus hilang dengan dikomposisikan  f^-1(x) dari depan. Sehingga diperoleh

g(x)=f^-1ofog (x)

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa pola soal di bawah ini:

Perhatikan contoh berikut:

Contoh 1
Diketahui f(x) = x – 3 dan (f o g)(x) = 5x – 3. Tentukan fungsi g(x)

Penyelesaian: (cukup dengan cara 1)

(f o g)(x)	= 5x – 3
f(g(x))	= 5x – 3
g(x) – 3	= 5x – 3
g(x)	= 5x

Contoh 2
Diketahui f:R→R dan g:R→R ditentukan oleh f(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x² + 6x + 7, maka tentukan g(x) !

Penyelesaian: (cukup dengan cara 1)

(f o g)(x)	= x2 + 6x + 7
f(g(x))	= x2 + 6x + 7
g(x) + 3	= x2 + 6x + 7
g(x)	= x2 + 6x + 4

Contoh 3
Diketahui g(x) = 2x + 4 dan (f o g)(x) = 4x² + 20 x + 29. Tentukan fungsi f(x)

Penyelesaian: (dengan cara 1 yang memerlukan reka-reka)

(f o g)(x)	= 4x2 + 20 x + 29
f(g(x))	= 4x2 + 20 x + 29
f(2x+4)	= (4x2 + 16x + 29) + 4x + 8 + 5
f(2x+4)	= (2x + 4)2 + 2(2x + 4) + 5
f(x)	= x2 + 2x + 5

Dengan cara 2 poit b:
Dengan Menentukan Fungsi Invers dari g(x) = 2x + 4 , kemudian gunakan rumus yang sesuai

g(x)=2x+4 è g^-1(x)= (x-4)/2

Jika g(x) dan fog(x) maka f(x)=fogog^-1 (x)

f(x)= fog ((x-4)/2)

      = 4((x-4)/2)² + 20 ((x-4)/2) + 29

      = 4{( x² – 8x + 16)/4} + 10x – 40 + 29

      = x² – 8x + 16 + 10x – 40 + 29

      = x² + 2x + 5