NILAI MUTLAK

Pada sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis sebagai | x |, yaitu jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Dikarenakan jarak itu selalu positif atau nol maka nilai mutlak x pun selalu memliki nilai positif ataupun nol untuk setiap x bilangan real.
Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan

atau bisa  ditulis
| x | = -x jika x ≥ 0
| x | = -x jika x < 0
Definisi diatas bisa di maknai sebagai berikut :
Nilai mutlak bilangan positif ataupun nol ialah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif yaitu lawan dari bilangan tersebut.
Contohnya:
| 7 | = 7
| 0 | = 0
| -4 | = -(-4) = 4
Maka, jelas bahwasanya nilai mutlak tiap bilangan real akan selalu memiliki nilai positif atau nol.
Persamaan √x2=x bernilai benar jika x ≥ 0. Untuk x < 0, maka √x2=−x. Bisa kita tulis

Jika di perhatikan, bentuk diatas sama persis dengan definisi nilai mutlak x. Oleh sebab itu, pernyataan berikut benar untuk setiap x bilangan real. |x|=√x2 Andai kedua ruas persamaan diatas di kuadratkan bisa didapat |x|2=x2 Persamaan terakhir ini berupa konsep dasar penyelesaian persamaan ataupun pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara menguadratkan kedua ruas. Seperti yang di lihat, tanda mutlak akan hilang jika dikuadratkan.

Sifat Pertidaksamaan nilai mutlak

Mengambil nilai mutlak dari persamaan nilai mutlak pada dasarnya cukup mudah. Dengan mengikuti dua aturan penting sudah bisa menentukan nilai mutlaknya. Pada intinya, nilainya akan positif jika fungsi dalam tanda mutlak lebih dari nol. Namun akan bernilai negatif jika fungsi dalam tanda mutlak kurang dari nol.

Dalam pertidaksamaan nilai mutlak tidak cukup dengan cara begitu. Ada pertidaksamaan aljabar yang ekuivalen dengan pertidaksamaan nilai mutlak. Ataupun bisa disebut sebagai sifat pertidaksamaan nilai mutlak. Sifat inilah yang bisa dipakai untuk menentukan himpunan penyelesaian pada soal pertidaksamaan nilai mutlak yang diberikan.

Berikut ini adalah sifat pertidaksamaan nilai mutlak yang bisa dipakai untuk menyelesaikan soal terkait pertidaksmaan nilai mutlak.

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak, selain butuh mengetahui sifat yang sudah diberikan di atas, juga diperlukan kemampuan untuk menguasai cara operasi bentuk aljabar Dan cara dasar dalam mengoperasikan bilangan dan variabel.

 

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 7| = 3  ⇔  2x - 7 = 3  atau  2x - 7 = -3
|2x - 7| = 3  ⇔  2x = 10  atau  2x = 4
|2x - 7| = 3  ⇔  x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2, 5}.

Contoh 2
Tentukan HP dari |2x - 1| = |x + 4|

Jawab:
Berdasarkan sifat a :
|2x - 1| = |x + 4|

⇔  2x - 1 = x + 4  atau  2x - 1 = -(x + 4)
⇔  x = 5  atau  3x = -3
⇔  x = 5  atau  x = -1

Jadi, HP = {-1, 5}.

Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7

Jawab :
Berdasarkan sifat b :
|2x - 1| < 7  ⇔  -7 < 2x - 1 < 7
|2x - 1| < 7  ⇔  -6 < 2x < 8
|2x - 1| < 7  ⇔  -3 < x < 4

Jadi, HP = {-3 < x < 4}.

Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x + 2 ≤ -6  atau  4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x ≤ -8  atau  4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  x ≤ -2  atau  x ≥ 1

Jadi, HP = {x ≤ -2  atau  x ≥ 1}.