Sistim Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan tiga variabel atau yang biasa disingkat sebagai SPLTV adalah kumpulan persamaan linear yang memiliki tiga variabel. Persamaan linear ditandai dengan pangkat tertinggi dari variabel dalam persamaan adalah satu. Selain itu, tanda yang menghubungkan persamaan berupa tanda sama dengan.

Dari bentuk umum tiga persamaan linear tiga variabel di atas, memuat tiga variabel yaitu variabel x, y, dan z. Dengan menyelesaikan tiga SPLTV akan diperoleh nilai variabel yang memenuhi semua persamaan linear yang terlibat dalam sistem.

Bagaimana cara menyelesaikan soal sistem persamaan linear tiga variabel? Ada beberapa metode yang dapat kita pelajari dan lakukan agar dapat menyelesaikan soal permasalahan yang melibatkan tiga variabel dan tiga persamaan. Metode tersebut diantaranya adalah susbtisusi, eliminasi, dan gabungan.

Bagaimana caranya? Simak penjelasan lebih lanjut pada masing – masing bahasan di bawah.

Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Substitusi

Cara pertama yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPLTV adalah dengan metode substitusi. Proses pengerjaan SPLTV dengan metode substitusi dapat dilakukan dalam beberapa proses perhitungan.

Langkah pertama adalah mengubah persamaan menjadi satu persamaan yang ada pada sistem menjadi persamaan satu variabel atas dua variabel lainnya. Misalnya persamaan x dalam persamaan variabel y dan z, persamaan y dalam persamaan variabel x dan z, atau persamaan z dalam persamaan variabel x dan y.

Langkah kedua substitusikan fungsi persamaan satu variabel atas dua variabel lainnya ke dalam fungsi persamaan linear.

Berikutnya, lakukan perhitungan sampai diperoleh nilai x, y, dan z.

Contoh 1 
Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Substitusi

Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel:

(i) x – 3y + z = 8
(ii) 2x + 3y – z = 1
(iii) 3x – 2y – 2z = 7

Tentukan nilai x + y + z 

Pembahasan:

Dari persamaan (i) x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8 …. (iv)

Substitusi persamaan (iv) ke persamaan (ii) :
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6y – 2z + 16 + 3y – z = 1
9y – 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5 …. (v)

Substitusi persamaan (iv) ke persamaan (iii):
3x – 2y – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9y – 3z + 24 – 2y – 2z = 7
7y – 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 – 7
5z = 7y + 17 …. (vi)

Substitusi persamaan (v) ke persamaan (vi):
5z = 7y + 17
5(3y + 5) = 7y + 17
15y + 25 = 7y + 17
15 y – 7y = -25 + 17
8y = -8 → y = – 1 …. (vii)

Substitusi nilai y = – 1 pada persamaan (vi) untuk mendapat nilai z.
5z = 7y + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)

Substitusi nilai y = – 1 dan z = 2 pada persamaan (i) untuk mendapat nilai x.
x – 3y + z = 8
x – 3(- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3

Diperoleh nilai ketiga variabel yang memenuhi sistem persamaan yaitu x = 3, y = – 1, dan z = 2.

Sehingga, nilai x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.

Mungkin langkah langkah seperti di atas setiap kita akan tidak sama.  Namun, jika perhitungan dilakukan dengan benar akan menghasilkan nilai yang sama.

Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Eliminasi

Cara kedua untuk menyelesaikan permasalahan terkait sistem persamaan linear tiga variabel adalah metode eliminasi.

Metode eliminasi untuk menyelesaikan SPLTV dilakukan dengan mengeliminasi satu per satu variabel untuk mendapatkan nilai variabel lain dari dua persamaan yang berbeda. Dalam melakukan eliminasi variabel satu per satu, perlu melakukan kombinasi dua persamaan dari tiga persamaan yang diberikan.

Lakukan proses eliminasi satu per satu variabel sampai mendapatkan hasil semua variabel yang memenuhi persamaan dalam sistem.

Contoh 2 – Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Eliminasi

Agar dapat membandingkan hasi yang diperoleh dari SPLTV, akan digunakan soal yang sama pada contoh 1 untuk diselesaikan dengan metode eliminasi.

Berikut soalnya:

Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel:

(i) x – 3y + z = 8
(ii) 2x + 3y – z = 1
(iii) 3x – 2y – 2z = 7

Tentukan nilai x + y + z

Pembahasan:

Eliminasi z dari persamaan (i) dan (ii):

Diperoleh nilai x = 3

Selanjutnya, eliminasi x dari persamaan (i) dan (ii):

Eliminasi x dari persamaan (ii) dan (iii):

Eliminasi z dari persamaan (iv) dan (v) untuk mendapatkan nilai y:

Eliminasi y dari persamaan (iv) dan (v) untuk mendapatkan nilai z:

Diperoleh nilai ketiga variabel yang memenuhi sistem persamaan yaitu x = 3, y = – 1, dan z = 2.

Sehingga, nilai x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.

Hasilnya sama dengan contoh 1 (soal yang sama), bukan?

Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

Metode gabungan merupakan pengulangan dari kedua metode di atas (metode substitusi dan metode eliminasi). Pada metode gabungan, proses yang dilakukan memanfaatkan kelebihan dari masing – masing metode. Sehingga, cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode gabungan akan lebih sukai.

Simak cara menyelesaikan soal persamaan linear tiga variabel dengan metode gabungan berikut.

Contoh 3 
Cara Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Gabungan

Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel:

(i) x – 3y + z = 8
(ii) 2x + 3y – z = 1
(iii) 3x – 2y – 2z = 7

Tentukan nilai x + y + z adalah ….

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel seperti yang diberikan pada soal, Pertama, eliminasi y dan z dari persamaan (i) dan (ii) untuk mendapatkan nilai x:

Selanjutnya, substitusi nilai x ke persamaan (i) untuk mendapatkan persamaan z dalam variabel x dan y.

Substitusi x = 3 dan z pada persamaan (iv) ke persamaan (iii) untuk mendapatkan nilai y:

   

Selanjutnya, substitusi nilai x = 3 dan y = – 1 dari perhitungan di atas ke persamaan (i) untuk mendapatkan nilai z:

   

Sehingga diperoleh hasil nilai variabel yang memenuhi ketiga sistem persamaan linear tiga variabel pada soal adalah x = 3, y = – 1, dan z = 2. Jadi nilai x + y + z = 3 + (– 1) + 2 = 4. 

Contoh Soal SPLTV Bentuk Pecahan

Nah, khusus dalam artikel ini, bentuk SPLTV pecahan yang akan dibahas cara penyelesaiannya adalah variabel SPLTV (x, y, dan z) kedudukannya sebagai penyebut dalam pecahan, misalnya seperti sistem persamaan berikut ini.

1/x + 2/y + 4/z = 1

-1/x + 4/y +12/z = 0

2/x + 8/y + 4/z = - 1   

Lalu bagaimanakah cara menentukan himpunan penyelesaian SPLTV yang berbentuk pecahan tersebut? Cara sangat gampang yaitu dengan membuat permisalan sebagai berikut.

Misalkan:

1/x = p  ;  1/y = q  ; 1/z = r

Dengan menggunakan permisalan ini, maka bentuk SPLTV pecahan di atas menjadi seperti berikut.

■ Persamaan pertama:

⇒ 1(1/x) + 2(1/y) + 4(1/z) = 1

⇒ p + 2q + 4r = 1

■ Persamaan kedua:

⇒ −1(1/x) + 4(1/y) + 12(1/z) = 0

⇒ −p + 4q + 12r = 0

■ Persamaan ketiga:

⇒ 2(1/x) + 8(1/y) + 4(1/z) = −1

⇒ 2p + 8q + 4r = −1

Dengan demikian, kita telah memperoleh SPLTV bentuk baku dengan variabel p, q, dan r yaitu sebagai berikut.

p + 2q + 4r = 1 …………..…… Pers. (1)

−p + 4q + 12r = 0 …………… Pers. (2)

2p + 8q + 4r = −1 ..….……… Pers. (3)

Langkah selanjutnya adalah menentukan himpunan penyelesaian SPLTV tersebut dengan menggunakan salah satu dari 5 metode penyelesaian yang telah disebutkan di atas. Misalnya kita gunakan metode campuran (eliminasi + subtitusi), sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

#1 Metode Eliminasi (SPLTV)

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah p sehingga kita akan mengeliminasi p dulu.

Untuk menghilangkan peubah p, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing p dari ketiga persamaan. Perhatikan cara berikut.

p + 2q + 4r = 1 → koefisien p = 1

−p + 4q + 12r = 0 → koefisien p = −1

2p + 8q + 4r = −1 → koefisien p = 2

Agar ketiga koefisien q sama (abaikan tanda), maka kita kalikan persamaan pertama dan kedua dengan 2, sedangkan persamaan ketiga kita kalikan 1 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

p + 2q + 4r	=	1	|×2|	→	2p + 4q + 8r	=	2
−p + 4+12r	=	0	|×2|	→	−2p+8q+24r	=	0
2p + 8q + 4r	=	−1	|×1|	→	2p + 8q + 4r	=	−1

Setelah koefisien p ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita selisihkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel p hilang. Perhatikan proses berikut ini.

● Dari persamaan pertama dan kedua:

2p + 4q + 8r   = 2
−2p + 8q + 24r = 0
______________ + 12q + 32r  = 2

● Dari persamaan kedua dan ketiga:

−2p + 8q + 24r  = 0
2p + 8q + 4r = -1
______________ + 16q + 28r    = -1

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

12q + 32r = 2

16q + 28r = −1

# 2 Metode Subtitusi (SPLDV)

Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan p sebagai berikut.

⇒ 12q + 32r = 2

⇒ 12q = 2 – 32r

Kemudian, agar persamaan q di atas dapat disubtitusikan pada SPLDV kedua, kita sedikit modifikasi SPLDV menjadi bentuk seperti berkut.

⇒ 16q + 28r = −1 [SPLDV awal]

⇒ 4/3(12q) + 28r = −1 [SPLDV modifikasi]

Kemudian masukkan persamaan q ke SPLDV modifikasi tersebut.

⇒ 4/3(12q) + 28r = −1

⇒ 4/3(2 – 32r) + 28r = −1

⇒ 8/3 – 128r/3 + 28r = −1

Kalikan kedua ruas dengan angka 3

⇒ 8 − 128r + 84r = −3

⇒ −128r + 84r = −3 – 8

⇒ −44r = −11

⇒ r = −11/−44

⇒ r = 1/4

Kemudian untuk menentukan nilai q, kita subtitusikan nilai r = 1/4  ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 12q + 32r = 2 sehingga kita peroleh:

⇒ 12q + 32r = 2

⇒ 12q + 32(1/4 ) = 2

⇒ 12q + 8 = 2

⇒ 12q = 2 – 8

⇒ 12q = –6

⇒ q = –6/12

⇒ q = –1/2

Setelah nilai q dan r diperoleh, langkah selanjutnya adalah menentukan nilai p dengan cara mensubtitusikan nilai q = –1/2 dan r = 1/4  ke salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan p + 2q + 4r = 1 sehingga kita peroleh:

⇒ p + 2q + 4r = 1

⇒ p + 2(–1/2) + 4(1/4 ) = 1

⇒ p + 2(–1/2) + 4(1/4 ) = 1

⇒ p – 1 + 1 = 1

⇒ p + 0 = 1

⇒ p = 1

Sampai disini kita sudah berhasil mendapatkan nilai p = 1, q = –1/2 dan r = 1/4 . Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan menggunakan permisalan sebelumnya, yaitu sebagai berikut.

1/x = p
1/x = 1
 x = 1

1/y = q
1/y = -1/2
y = -2

1/z = r
1/z = 1/4
z = 4

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1 , y = −2, dan z = 4 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah {(1 , −2, 4)}.